Unit 2- Kinematics (गतिकी)

Imp formulas–

1. एक समान त्वरित गति के लिए गति के समीकरण (Kinematics Equations for Uniformly Accelerated Motion)- यदि x = विस्थापन (displacement), t = समय (time), u = प्रारंभिक वेग (initial velocity), v= अंतिम वेग (final velocity) तथा a = त्वरण (acceleration)

1. v= u + at
2. x = ut +1/2at²
3. v² = u² + 2ax

2. यदि कोई कण t₁ समय में त्वरण a₁ एवं समय t₂ में त्वरण a₂, तब कण का औसत त्वरण (If any particle in time t₁ is accelerated a₁ and in time t₂ accelerated a₂, then average acceleration is)- a_av = (a₁ t₁ + a₂ t₂)/ (a₁ + a₂)

3. कोई कण विरामावस्था से प्रारंभ करके एकसमान त्वरित गति करती है तब समय t एवं विस्थापन s में संबंध (If any particle starts from stationary to uniformly accelerated motion then – t ∝ s²

4. कोई कण प्रथम एक तिहाई दूरी v₁ चाल से, द्वितीय एक तिहाई दूरी v₂चाल से, अंतिम एक तिहाई दूरी v₃ चाल से चलता है तो उसकी औसत चाल (If any particle’s velocity v₁ in first 1/3 distance, velocity v₂ in second 1/3 distance, velocity v₃ in last 1/3 distance then its average velocity v_av = 3v₁v₂v₃/( v₁v₂ +v₂v₃ +v₃v₁ )

5. जब कण प्रथम आधी दूरी v₁ चाल से, द्वितीय आधी दूरी v₂चाल से चलता है तो उसकी औसत चाल (When particle moves the first half of a distance at a speed of v₁ and second half of the distance at speed v₂ then average velocity) – v_av = 2v₁v₂/( v₁ +v₂ )

6. यदि कोई कण अपनी स्थिर अवस्था से एकसमान त्वरण से गति करना प्रारंभ करता है तो n^th सेकण्ड में चली गई दूरी (2n-1) के समानुपाती होती है ( If a body starts from rest and moves with uniform acceleration then distance covered by the body in nth sec is proportional to (2n-1)) = s_n ∝ (2n –1)

7. वेग एवं विस्थापन का समय के साथ ग्राफ का कुछ उदाहरण (Some graphical representation of velocity and displacement with time)-

8. क्षैतिज के साथ θ कोण बनाते हुए u वेग से फेंके गए द्रव्यमान m के एक प्रक्षेप्य पर विचार करें। इसे बिंदु O से प्रक्षेपित किया जाता है और G पर जमीन पर लौट आता है। साथ ही M इसके द्वारा प्राप्त उच्चतम बिंदु है (Consider a projectile of mass m thrown with velocity u making angle θ with the horizontal. It is projected from the point O and returns to the ground at G. Also M is the highest point attained by it)-

Imp formulas of projectile motion-

Change in velocity (वेग में परिवर्तन ) = u sinθ
(b) Change in speed( गति में परिवर्तन) = u(1- cos θ) =2ucos²( θ/2)
(c) Change in momentum( संवेग में परिवर्तन) = musinθ
(d) Change (loss) in kinetic energy( गतिज उर्जा में परिवर्तन (कमी )) =1/2mu²sin²θ
(e) Change (gain) in potential energy( स्थितिज उर्जा में परिवर्तन (वृद्धि)) =1/2mu²sin²θ
(f) The maximum range of the projectile is (प्रक्षेप्य की अधिकतम सीमा है) R_max = u²/g
(g) The range of the projectile is maximum for the angle of projection(प्रक्षेप्य की अधिकतम सीमा का कोण है )- θ = 45° When the range is maximum, the height attained by the projectile
(h) When the range is maximum, the height attained by the projectile ( प्रक्षेप्य की अधिकतम सीमा पर ऊँचाई है)- H=u²/4g=R_max /4

(i) When the range of the projectile is maximum, the time of flight is (प्रक्षेप्य की अधिकतम सीमा पर उड़ान का समय)- T=2t=√2u/g u
(j) The height attained by a projectile is maximum, when θ=90°(प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई जब कोण θ=90°)-H_max = u²/2g
(k) The time of flight of the projectile is also largest for θ=90° (प्रक्षेप्य की अधिकतम समय जब कोण θ=90°)-
T_max =2u/g

9. निचे दिए गए चित्र में समय- दूरी का ग्राफ सही नहीं है ( which of the time- distance graph is not correct) ?

Ans. C – दूरी कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता (Distance never negative)

10. रॉकेट प्रक्षेपण (Rocket Propulsion)- माना t=0 पर रॉकेट का द्रव्यमान m₀ है, किसी क्षण t पर इसका द्रव्यमान m व वेग v है | माना रॉकेट का प्रारंभिक वेग u है (Let us at t=0 mass of rocket is m₀, at time t its mass m and velocity is v. let us initial velocity of rocket is u-
1. प्रति एकांक समय में निकलने वाले गैस का द्रव्यमान (mass of gas with respect of time Mass of firing gas per unit time = (-dm/dt)
2. रॉकेट पर प्रणोद बल (Thurst force on rocket) F_t =v_r (-dm/dt)
3. रॉकेट का भार (weight of rocket) w=mg (नीचे की ओर ) down side
रॉकेट पर कुल भार (total weight on rocket) F_net = F_t – w = v_r (-dm/dt) – mg (ऊपर की ओर ) up side
रॉकेट का तात्क्षणिक वेग (instantaneous velocity of rocket) v = u- gt + v_rln(m₀/m)
ma
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